En este ejemplo puede apreciarse la diferencia al aplicar a la imagen el operador cruzado de Roberts y el operador Sobel. La imagen de salida mantiene en ambos casos el mismo nivel de ruido, pero en el caso de Sobel, hay una mayor diferencia de intensidad entre el ruido y los verdaderos bordes, por lo que una umbralización sería apropiada para determinar los bordes en este caso.
Filtros espaciales de realce
Roberts
Sobel
El laplaciano
Como en el caso del gradiente, la ecuación del laplaciano puede implementarse en forma digital de varias maneras. La más frecuente en la práctica es aplicar la siguiente máscara:
Es decir,
El laplaciano de una función bidimensional f es un operador de derivación isotrópico (independiente de la dirección de la discontinuidad en la imagen) definido por:
Filtros espaciales de realce
El laplaciano
Existen varios modelos para implementar el Laplaciano digital:
Filtros espaciales de realce
El laplaciano
Nótese que la suma de los coeficientes de la máscara debe ser cero, lo que es coherente en el caso de que el punto en cuestión y sus vecinos tengan el mismo valor.
Los píxeles del borde darán como respuesta un número negativo “grande”.
El Laplaciano no se suele usar directamente en la práctica por ser muy sensible al ruido, por lo que se suele usar sumado o restado (según la máscara usada) con la imagen original para realzar los contornos, como en el ejemplo siguiente.
Por la misma razón, también a veces se usa primero un filtro gaussiano para eliminar ruido, lo que da lugar al filtro llamado Laplaciano del Gaussiano (LoG), cuyo núcleo puede calcularse componiendo ambos:
Filtros espaciales de realce
El Laplaciano. Ejemplo.
Imagen original Laplaciano de la imagen
Reescalado del Imagen original
Laplaciano de la + Laplaciano
imagen
Filtros espaciales de realce
Filtros espaciales de realce
Filtros espaciales de realce
Una imagen se puede filtrar en el dominio de la frecuencia o en el dominio del espacio.
Los filtros en el dominio de la frecuencia se usan, principalmente, para eliminar altas o bajas frecuencias de la imagen, lo que se traduce en suavizar la imagen, o bien, realzar o detectar bordes.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Los pasos a seguir son:
Se multiplica cada entrada f(x,y) por (-1)x+y.
Se transforma la imagen en su dominio de la frecuencia mediante la Transformada Discreta de Fourier, F(u,v).
Se multiplica por un filtro de frecuencia H(u,v), para cada (u,v):
G(u,v)=H(u,v) F(u,v)
Se calcula la inversa de la TDF de G(u,v) (tomando la parte real), volviendo, así, al dominio del espacio.
Se vuelve a multiplicar por (-1)x+y.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Básicamente, hay tres tipos diferentes de filtros de frecuencia:
Filtros de paso bajo (lowpass filter).
Filtros de paso alto (highpass filter).
Filtros de banda (bandpass filter).
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: deja inalterables las bajas frecuencias y atenúa o elimina las altas frecuencias.
El resultado en el dominio del espacio consiste en un suavizado: eliminar pequeños detalles y ruidos de la imagen.
El más sencillo es el Filtro ideal de paso bajo, en el que
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias. Este filtro suprime las altas frecuencias mayores que un cierto valor D0, que se denomina frecuencia de corte, y deja las demás tal como están.
Filtro ideal de paso bajo
Imagen original (superior izquierda) , junto con los resultados de pasar un filtro ideal de paso bajo con frecuencias de corte de 5, 15, 30, 80 y 230.
Nótese el efecto de ondas o anillos alrededor de los bordes.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: deja inalterables las bajas frecuencias y atenúa o elimina las altas frecuencias.
Otro ejemplo es Filtro Butterworth de paso bajo de orden n
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias y D0 es la llamada frecuencia de corte.
Filtro ideal Filtro Butterworth
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: Filtro Butterworth de paso bajo de orden n
Ahora H es una función continua en D, en contraposición con el caso del filtro ideal, en el que H era discontinua.
Conforme aumenta n, la función H se “parece” cada vez más a la correspondiente al filtro ideal.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro Butterworth de paso bajo de orden 2
Imagen original (superior izquierda) , junto con los resultados de pasar un filtro Butterworth de paso bajo de orden 2 con frecuencias de corte de 5, 15, 30, 80 y 230.
Nótese que ahora no aparecen los efectos de ondas o anillos en torno a los bordes.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso bajo: Filtro paso bajo Gaussiano
Se obtienen resultados comparables a los del filtro Butterworth (sin anillos).
Mediante la transformada inversa de Fourier de H(u,v) se obtiene un filtro espacial Gaussiano.
Filtro de paso alto: deja inalterables las altas frecuencias y atenúa o elimina las bajas frecuencias.
El resultado en el dominio del espacio consiste en un realzado de los cambios bruscos de niveles de grises. De ahí que se use para detectar bordes.
Las áreas de niveles de gris constantes o con poca variación se corresponden con las bajas frecuencias, que se suprimen.
El más sencillo es el Filtro ideal de paso alto, en el que
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias.
Este filtro suprime las frecuencias menores o iguales que un cierto valor D0, que se denomina frecuencia de corte.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Resultados usando frecuencia de corte 30, 60 y 160.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro ideal de paso alto
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro de paso alto: deja inalterables las altas frecuencias y atenúa o elimina las bajas frecuencias.
Otro ejemplo es el Filtro Butterworth de paso alto de orden n
donde D(u,v) es la distancia euclídea de (u,v) al origen del plano de frecuencias y D0 es la llamada frecuencia de corte.
Filtros en el dominio de la frecuencia
Filtro ideal
Filtro Butterworth
Filtros de paso alto
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